الوحدة 8 — مبرهنة بايز والاستدلال الاحتمالي

مبرهنة بايز من أنفع صيغ المجال كلّه — وأكثرها سوء فهم. تجيب سؤالاً حاضراً في كلّ مكان: كيف أحدّث ما أعتقده حين تصل بيانات جديدة؟ طرحت الوحدة 7 المشكلة (الاشتراط غير متناظر)، وتعطي بايز الحلّ الدقيق.

الصيغة وحدسها

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

لنفكّكها بلغة واضحة، مع $A$ = «كونه عليلاً» و$B$ = «اختبار موجب»:

• $P(A)$ — الاحتمال القبلي: ما اعتقدناه قبل الاختبار (تواتر المرض).
• $P(B \mid A)$ — الأرجحية: موثوقية الاختبار عند العلائل.
• $P(A \mid B)$ — الاحتمال البعدي: ما نعتقده بعد رؤية الاختبار الموجب.

بايز آلةٌ لـمراجعة اعتقاد: نبدأ من قبليّ، يصل رصد، فنحصل على بعديّ. وهذا البعديّ يصير قبليَّ الرصد التالي — فيصقل الاستدلال بلا نهاية.

المثال الذي يهزم الحدس: فخّ المعدّل الأساس

مرضٌ يصيب شخصاً من كلّ 1000. اختبارٌ يكشفه بنسبة 99% عند العلائل، ويخطئ بنسبة 5% عند الأصحّاء (إيجابيات كاذبة). اختبارك موجب: ما احتمال أن تكون عليلاً فعلاً؟

يهمس الحدس «نحو 99%». والواقع مختلف تماماً. من بين 100000 شخص:

• 100 عليل → 99 اختبروا موجباً (إيجابيات صحيحة).
• 99900 صحيح → نحو 4995 اختبروا موجباً خطأً (إيجابيات كاذبة).

$$P(\text{عليل} \mid \text{موجب}) = \frac{99}{99 + 4995} \approx 1{,}9\,\%$$

أقلّ من 2%. والسبب: المرض نادر إلى حدّ (معدّل أساس منخفض) أنّ الإيجابيات الكاذبة، وإن قلّت نسبةً، تسحق الإيجابيات الصحيحة عدداً. وتجاهل المعدّل الأساس من أشيع مغالطات الاستدلال — حتى عند المهنيّين.

مصنِّف بايز الساذج

بايز ليس تمريناً فحسب: بل خوارزمية تصنيف حقيقية. مصنِّف بايز الساذج يقدّر $P(\text{الصنف} \mid \text{الخصائص})$ عبر صيغة بايز، مضيفاً فرضاً مبسِّطاً — تُفترَض الخصائص مستقلّة بعضها عن بعض (ومن هنا «الساذج»، الوحدة 7).

هذا الفرض خاطئ دائماً تقريباً بدقّة، ومع ذلك تعمل الخوارزمية على نحوٍ لافت، لا سيّما في ترشيح البريد المزعج: كلّ كلمة من رسالة تحمل قرينة، ويجمع بايز كلّ هذه القرائن في احتمال أن تكون الرسالة غير مرغوبة. سريعٌ وخفيفٌ وقابل للتفسير — نقطة انطلاق ممتازة لتصنيف النصوص.

التفكير البايزي، أبعد من الصيغة

احفظ قبل كلّ شيء طريقة التفكير: الاعتقاد ليس جامداً أبداً، بل يتحدّث كلّما تراكمت البيّنات. وهذا أساس تيّار كامل من الذكاء الاصطناعي (الإحصاء البايزي، تقدير اللايقين، اختبارات A/B). حين يعرض نموذجٌ «ثقة 92%»، فهذا احتمال بعديّ: ثمرةُ قبليّ راجعته بيانات التدريب.

الخلاصة

• مبرهنة بايز تصل اتّجاهي الاشتراط: تحوّل $P(B \mid A)$ إلى $P(A \mid B)$ عبر القبليّ.
• تُقرَأ مراجعةَ اعتقاد: قبليّ → رصد → بعديّ، مكرَّرةً بلا نهاية.
• فخّ المعدّل الأساس: حين يندر حدث، ينتج اختبارٌ ولو موثوق إيجابياتٍ كاذبةً في الغالب؛ وتجاهل التواتر الأساس يشوّه الاستدلال بشدّة.
• مصنِّف بايز الساذج يطبّق بايز مفترضاً استقلال الخصائص؛ مبسَّطٌ لكن فعّال، يتفوّق في ترشيح البريد المزعج.

الوحدة التالية: التوقّع والتباين والتوزيعات الشائعة — الإحصاءات التي تلخّص توزيعاً وتقدّر التشتّت.