الوحدة 9 — التوقّع والتباين والتوزيعات الشائعة

متغيّر عشوائيّ — نتيجة سحب، قيمة خاصّة — يُلخَّص برقمين: أين يقع وسطيّاً (التوقّع) وكم يتشتّت (التباين). تعطي هذه الوحدة هذين الملخّصين وتعرض التوزيعات القليلة التي تتكرّر بلا انقطاع في علم البيانات.

التوقّع: مركز الثقل

التوقّع $E[X]$ هو القيمة الوسطى لمتغيّر عشوائيّ على عدد كبير من السحوبات — مركز ثقل توزيعه. لنردٍ متّزن يساوي 3.5: لا وجهاً ممكناً، بل الوسط على المدى الطويل.

$$E[X] = \sum_i x_i \, P(x_i)$$

على البيانات، يُقدَّر التوقّع ببساطة بالمتوسّط التجريبي (df["colonne"].mean()). وهو أوّل رقمٍ ننظر إليه، لكنه لا يكفي أبداً: قد تشترك مجموعتان في المتوسّط نفسه ولا تجمعهما شيء.

التباين والانحراف المعياري: التشتّت

التباين يقيس التبعثر حول التوقّع: متوسّط مربّعات الانحرافات عن المركز.

$$\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2]$$

ولأنه يُعبَّر عنه بوحدة مربّعة (يورو²، أمتار²)، نفضّل عليه غالباً الانحراف المعياري $\sigma$، جذره التربيعي، عائداً إلى الوحدة الأصلية وبذلك قابلاً للتفسير مباشرة.

import numpy as np
notes = np.array([10, 12, 11, 9, 13])
notes.mean()   # التوقّع المقدَّر: 11.0
notes.std()    # الانحراف المعياري: التشتّت حول 11

المثال النموذجي: لصفّين متوسّط 11، لكن أحدهما يتراوح من 10 إلى 12 (تباين منخفض، مجموعة متجانسة) والآخر من 2 إلى 20 (تباين عالٍ، مجموعة مبعثرة). التوقّع يخلطهما؛ والتباين يميّزهما. وهذه الثنائية مركز/تشتّت تروي الوحدة التالية، عن مفاضلة التحيّز-التباين.

ثلاثة توزيعات للتعرّف

التوزيع الاحتمالي يصف كيف تتوزّع قيم متغيّر عشوائيّ. ثلاثة تتكرّر باستمرار:

التوزيع	ينمذج	مثال
برنولي	حدثاً ثنائيّاً (نجاح/فشل)	نقرة أو لا، مزعج أو لا
المنتظم	كلّ القيم متساوية الرجحان	نرد، سحب عشوائيّ
الطبيعي (الغاوسي)	قيماً متجمّعة حول وسط	الأطوال، أخطاء القياس

التوزيع الطبيعي: ملك التوزيعات

التوزيع الطبيعي، جرسٌ متناظر، يصف حشداً من الظواهر الطبيعية ويحتلّ مكاناً مركزيّاً في الإحصاء. شكله محدَّد تماماً بمعاملين: الوسط $\mu$ (أين القمّة) والانحراف المعياري $\sigma$ (عرضه). وقاعدة عملية، «قاعدة 68-95-99.7»، تستحقّ الحفظ:

• 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من الوسط.
• 95% ضمن انحرافين.
• 99.7% ضمن ثلاثة.

تحوّل هذه القاعدة الانحراف المعياري أداةَ كشف: قيمةٌ على بُعد أكثر من ثلاثة انحرافات من الوسط غير مرجّحة إلى حدّ (أقلّ من 0.3%) نعاملها طوعاً شذوذاً — طريقة شائعة لكشف القيم الشاذّة، في صدى تنظيف البيانات في دورة بايثون.

لماذا يظهر الطبيعي في كلّ مكان

مبرهنة النهاية المركزية تفسّر هذا الحضور الطاغي: متوسّط عدد كبير من السحوبات المستقلّة يؤول إلى توزيع طبيعيّ، أيّاً كان توزيع البدء. ولهذا تتبع أخطاء القياس ومتوسّطات العيّنات وكمّيات مجمَّعة لا تُحصى جرساً. وهو أيضاً أساس مجالات الثقة واختبارات الفرضية التي تُستعمَل للتحقّق من اختبار A/B.

الخلاصة

• التوقّع مركز ثقل متغيّر عشوائيّ؛ على البيانات هو المتوسّط التجريبي — لازمٌ لكن لا يكفي أبداً.
• التباين يقيس التشتّت؛ والانحراف المعياري، جذره، قابل للتفسير في الوحدة الأصلية.
• ثلاثة توزيعات محورية: برنولي (ثنائيّ)، المنتظم (متساوي الرجحان)، الطبيعي (جرسيّ).
• الطبيعي محدَّد بوسطه وانحرافه؛ وقاعدة 68-95-99.7 تجعله أداة كشف شذوذ، ومبرهنة النهاية المركزية تفسّر حضوره الطاغي.

الوحدة التالية: مفاضلة التحيّز-التباين، حيث تنير مفاهيم التشتّت هذه أخيراً لماذا يفرط نموذجٌ في التعلّم أو يقصّر فيه.