الوحدة 3 — المعايير والمسافات وتشابه جيب التمام

ما إن يحتاج نموذج أن يقول «هذان الشيئان متشابهان» — يوصي بمنتج، يجمّع عملاء، يسترجع وثيقة — حتى يقيس مسافةً أو تشابهاً بين المتّجهات. تقدّم هذه الوحدة الأدوات الثلاث التي تؤسّس البحث المتّجهي والتجميع والتضمينات الحديثة.

المعيار: حجم المتّجه

المعيار يقيس «طول» المتّجه. أشيعها، المعيار الإقليدي (المسمّى $L_2$)، يعمّم مبرهنة فيثاغورس:

$$\|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_d^2}$$

import numpy as np
x = np.array([3, 4])
np.linalg.norm(x)        # 5.0 — المثلّث الكلاسيكي 3-4-5

يُستعمَل المعيار لـتطبيع متّجه (ردّه إلى طول 1 بقسمته على معياره)، وهي عملية حاضرة في كلّ مكان: تتيح مقارنة الاتجاهات بمعزل عن السلّم. ونصادف أيضاً المعيار $L_1$ (مجموع القيم المطلقة)، الذي سيؤدّي دوراً محوريّاً في تنظيم النماذج.

المسافة الإقليدية: القرب «على خطّ مستقيم»

المسافة بين ملاحظتين معيارُ فرقهما:

$$d(a, b) = \|a - b\|_2$$

a = np.array([72, 3, 15])
b = np.array([90, 4, 8])
np.linalg.norm(a - b)    # المسافة بين مسكنين

هي المسافة التي تستعملها خوارزمية الجيران الأقرب $k$ وتجميع $k$-متوسّطات. ولها فخّ كبير: تهيمن عليها الخصائص كبيرة السعة. هنا تسحق المساحة (عشرات) عددَ الغرف (آحاد): فلا تعكس المسافة إلا المساحة تقريباً. من هنا ضرورة جعل الخصائص على السلّم نفسه قبل أيّ حساب مسافة — نقطة تعود إليها الوحدة 6 ودورة هندسة الخصائص مطوّلاً.

مسافة منهاتن: عبر الشوارع لا على خطّ مستقيم

مسافة منهاتن ($L_1$) تجمع الفروق المطلقة، كسيّارة أجرة تتبع شبكة الشوارع:

$$d_1(a, b) = \sum_i |a_i - b_i|$$

أقلّ حسّاسيةً للقيم القصوى من الإقليدية، وتُفضَّل أحياناً في الأبعاد العالية. والاختيار بين الإقليدية ومنهاتن رافعةُ ضبطٍ حقيقية بحسب البيانات.

تشابه جيب التمام: مقارنة الاتجاهات لا الأطوال

غالباً ما يهمّ الاتجاه لا المسافة. نصّان يتناولان الموضوع نفسه لهما متّجهان في الاتجاه نفسه، وإن كان أحدهما أطول بكثير (وثيقة أكثر إسهاباً). تشابه جيب التمام يقيس الزاوية، متجاهلاً الأطوال:

$$\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$$

def cosinus(a, b):
    return np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))

يساوي 1 لمتّجهين بالاتجاه نفسه، و0 لمتّجهين متعامدين (لا علاقة)، و**−1** لاتجاهين متعاكسين. والبسط $a \cdot b$ هو الجداء الداخلي، اللبنة التي تقيس كم «يمضي المتّجهان في الاتجاه نفسه».

لماذا يسود جيب التمام التضمينات

النماذج الحديثة — البحث الدلالي، أنظمة RAG، التوصية — تمثّل النصوص والصور بمتّجهات (تضمينات) عالية الأبعاد. ونقارنها فيها دائماً تقريباً بـتشابه جيب التمام، لأنّ الاتجاه وحده يحمل المعنى؛ وطول المتّجه لا يعكس إلا آثاراً كحجم النصّ. حين تقرأ أنّ قاعدة متّجهية «تبحث عن الجيران الأقرب»، فهذا الحساب، المحسَّن بكثافة، هو ما يجري في الأسفل.

الخلاصة

• المعيار $L_2$ يقيس طول المتّجه؛ والتطبيع يردّه إلى طول 1 لمقارنة الاتجاهات.
• المسافة الإقليدية تقيس القرب «على خطّ مستقيم»؛ تهيمن عليها الخصائص كبيرة السعة، ومن هنا أهمّية التحجيم.
• مسافة منهاتن ($L_1$) تجمع الفروق المطلقة، أكثر متانةً أمام القيم القصوى.
• تشابه جيب التمام يقارن الاتجاهات متجاهلاً الأطوال؛ وهو المقياس السائد للتضمينات والبحث الدلالي.

الوحدة التالية: القيم الذاتية وتقليص الأبعاد — كيف تضغط بيانات بمئات الخصائص مع الاحتفاظ بالجوهر.