الوحدة 7 — الاحتمالات والاستقلال والاحتمال الشرطي

تعلّم الآلة، في جوهره، استدلالٌ تحت اللايقين: المصنِّف لا يقول «إنها قطّة» بل «92% احتمال أن تكون قطّة». والاحتمالات لغة هذا اللايقين. تضع هذه الوحدة أسسها، موجَّهةً نحو ما يفيد فعلاً في فهم النماذج.

الاحتمال: مقياس بين 0 و1

الاحتمال يقدّر رجحان حدث، من 0 (مستحيل) إلى 1 (مؤكّد). وقراءتان تتعايشان وتلتقيان عمليّاً:

• التكراريّة: النسبة المرصودة على تكرارات كثيرة (قطعة نقد متّزنة تقع على الصورة نحو مرّة من مرّتين).
• البايزية: درجة اعتقاد، قابلة للمراجعة على ضوء بيانات جديدة — رؤية الوحدة 8.

في التعلّم، مخرج نموذج التصنيف هو احتمال، وقراءته صحيحاً تغيّر كلّ شيء في تفسير التنبّؤ.

الاحتمال المشترك والاستقلال

الاحتمال المشترك $P(A \text{ و } B)$ هو أن يقع الحدثان معاً. وحدثان مستقلّان إن لم يحمل أحدهما أيّ معلومة عن الآخر؛ فحينئذ، وحينئذ فقط:

$$P(A \text{ و } B) = P(A) \cdot P(B)$$

رميتا نردٍ متتاليتان مستقلّتان: النتيجة الأولى لا تقول شيئاً عن الثانية. بالمقابل، «تمطر» و«الأرض مبتلّة» غير مستقلّين البتّة. والتمييز بين الحالتين حاسم: افتراض الاستقلال خطأً مصدرٌ كبير للأخطاء — لكنه أيضاً، أحياناً، تبسيطٌ مثمر، كما في مصنِّف بايز «الساذج» في الوحدة 8.

الاحتمال الشرطي: قلب الاستدلال

الاحتمال الشرطي $P(A \mid B)$ يُقرَأ «احتمال A بشرط أنّ B صحيح». وهو أهمّ مفاهيم الوحدة، لأنّ التنبّؤ هو بالضبط حساب احتمال شرطي: $P(\text{الصنف} \mid \text{الخصائص المرصودة})$.

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \text{ و } B)}{P(B)}$$

مثالٌ طبّيّ يجسّد الفكرة. احتمال أن يكون المريض عليلاً، بشرط أنّ اختباره موجب، ليس نفسه احتمال العلّة الخام: معلومة «اختبار موجب» حدّثت تقديرنا. وهذه المراجعة على ضوء رصدٍ هي الآلية المركزية لكلّ استدلال تنبّئيّ.

# على بيانات: P(شراء | رأى_الإعلان)
qui_a_vu = df[df["a_vu_pub"] == 1]
p_achat_sachant_pub = qui_a_vu["a_achete"].mean()

فخّ كلاسيكي: الاحتمال الشرطي غير متناظر

$P(A \mid B)$ و$P(B \mid A)$ مختلفان، والخلط بينهما يؤدّي إلى أخطاء جسيمة. $P(\text{اختبار موجب} \mid \text{عليل})$ — موثوقية الاختبار — قد تبلغ 99%، بينما $P(\text{عليل} \mid \text{اختبار موجب})$ — ما يهمّ المريض — قد لا تتجاوز 30% إن كان المرض نادراً. والصلة الدقيقة بين هاتين الكمّيتين هي بالضبط مبرهنة بايز، موضوع الوحدة التالية.

لماذا يروي هذا كلّ التقييم

مقاييس دورة المقدّمة — الدقّة، الاستدعاء — احتمالات شرطية متنكّرة. الاستدعاء هو $P(\text{مكتشَف} \mid \text{موجب فعلاً})$؛ والدقّة هي $P(\text{موجب فعلاً} \mid \text{مكتشَف})$. إنهما اتّجاها الاشتراط، ولهذا يختلفان ولا يُختزَلان في رقم واحد.

الخلاصة

• الاحتمال يقيس اللايقين بين 0 و1؛ ومخرج المصنِّف احتمالٌ يجب إحسان تفسيره.
• حدثان مستقلّان حين $P(A \text{ و } B) = P(A)P(B)$؛ وافتراضه خطأً خطأٌ شائع.
• الاحتمال الشرطي $P(A \mid B)$ قلب التنبّؤ: التصنيف تقديرُ $P(\text{الصنف} \mid \text{الخصائص})$.
• غير متناظر: $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$؛ والخلط يؤدّي إلى مغالطات جسيمة تبدّدها مبرهنة بايز.

الوحدة التالية: مبرهنة بايز، الصيغة التي تصل اتّجاهي الاشتراط وتؤسّس فرعاً كاملاً من الذكاء الاصطناعي.