الدرس 2 — الجبر الخطّي
هذا الفرع هو أكثر ما يظهر عملياً، وأقلّ ما يستحقّ الخوف. الأفكار الأساسية فيه قليلة وبديهية إذا شُرحت من جهة الاستخدام.
المتّجه: قائمة أرقام لها معنى
المتّجه قائمة مرتّبة من الأرقام. هذا كلّ شيء. وما يجعله مفيداً هو أنّ الترتيب يحمل معنى ثابتاً.
عميل يُمثَّل بمتّجه: [32, 4, 89.5, 12] أي العمر، وعدد الطلبات، ومتوسّط السلّة، وعدد أيّام آخر زيارة. صورة رمادية 28×28 تُمثَّل بمتّجه من 784 رقماً. وكلمة تُمثَّل بمتّجه من 768 رقماً في نموذج لغوي.
النقطة الجوهرية: بمجرّد أن يصبح الشيء متّجهاً، تصبح كلّ أدوات الجبر الخطّي متاحة عليه — والأهمّ منها قياس التشابه.
الفضاء والبُعد
متّجه من رقمين يمثّل نقطة في مستوٍ، ومن ثلاثة يمثّل نقطة في فضاء. ومن 768 يمثّل نقطة في فضاء بـ768 بعداً، وهذا لا يمكن تصوّره بصرياً، وليس مشكلة: الرياضيات لا تتغيّر، والبديهة المكتسبة في بعدين تنتقل معظمها.
حين تُمثَّل الكلمات بمتّجهات مدرَّبة جيّداً، تصبح الكلمات المتقاربة في المعنى متقاربة في الفضاء. وهذا يجعل «ابحث عن مستندات شبيهة بهذا السؤال» عملية حساب مسافة، وهو أساس تقنية الاسترجاع RAG في دورة النماذج اللغوية.
المصفوفة: جدول وتحويل في الوقت نفسه
المصفوفة شبكة أرقام بصفوف وأعمدة. ولها في تعلّم الآلة دوران، والخلط بينهما مصدر ارتباك.
الدور الأول: حاوية بيانات. جدول فيه ألف عميل وأربع سمات هو مصفوفة بشكل (1000, 4). هنا المصفوفة مجرّد تنظيم.
الدور الثاني: تحويل. المصفوفة تحوّل متّجهاً إلى متّجه آخر. طبقة في شبكة عصبية هي بالضبط ذلك: مصفوفة أوزان تأخذ متّجه المدخل وتنتج متّجه المخرج، بأبعاد مختلفة عادةً.
هذا الدور الثاني هو ما يجعل الشبكة تعمل: كلّ طبقة تحويل، وتكديس الط بقات تكديس تحويلات، والتدريب هو تعديل أرقام هذه المصفوفات.
ضرب المصفوفات وأشكاله
ضرب المصفوفات هو العملية الأكثر تنفيذاً في العالم الحسابي اليوم. وما يلزم فهمه منه هو قاعدة الأشكال: لضرب مصفوفة بشكل (a, b) في مصفوفة بشكل (b, c) يجب أن يتطابق البعد الداخلي b، والنتيجة بشكل (a, c).
هذه القاعدة البسيطة هي مصدر معظم رسائل الخطأ التي ستقابلها:
| الخطأ | ما يعنيه | العلاج المعتاد |
|---|---|---|
shapes (32,10) and (20,5) not aligned | البعد الداخلي غير متطابق | راجع ترتيب الأبعاد أو أضف تحويلاً |
expected 4D input, got 3D | نسيت بعد الدفعة (batch) | أضف بعداً في الأول |
size mismatch for layer.weight | النموذج المحمَّل بمعمارية مختلفة | طابق تعريف النموذج مع الأوزان |
اطبع شكل المتّجه بعد كلّ خطوة أثناء التطوير. تتبّع الأشكال يدوياً على ورقة قبل كتابة الكود عادة أسرع من التصحيح بعده.
الجداء القياسي: كيف يُقاس التشابه
الجداء القياسي (dot product) بين متّجهين: تضرب العناصر المتقابلة وتجمع. النتيجة رقم واحد.
هذا الرقم الواحد يحمل معلومة قوّية عن التوافق في الاتّجاه:
- كبير موجب: المتّجهان يشيران إلى الجهة نفسها — متشابهان.
- قريب من الصفر: متعامدان — لا علاقة.
- كبير سالب: في جهتين متقابلتين — متعارضان.
من هنا يأتي التشابه الجيبي (cosine similarity)، وهو الجداء القياسي بعد تطبيع الطول، فيقيس التشابه في الاتّجاه بمعزل عن الحجم. وهذا هو المقياس المستخدَم في ال بحث الدلالي وأنظمة التوصية: تحويل السؤال إلى متّجه، وحساب تشابهه مع متّجهات المستندات، وإعادة الأقرب.
وفي الشبكة العصبية، ما يحسبه العصبون الواحد هو جداء قياسي بين مدخلاته وأوزانه، مضافاً إليه إزاحة. أي أنّ العصبون يقيس: كم يشبه هذا المدخل النمط الذي تعلّمته؟
المعيار (norm): طول المتّجه
المعيار هو طول المتّجه، أي المسافة من الأصل. وله استخدامان يظهران باستمرار:
- قياس المسافة بين متّجهين، وهو أساس k-NN والتجميع.
- التنظيم (regularization): معاقبة الأوزان الكبيرة بإضافة معيارها إلى دالّة الكلفة، وهذا يقاوم فرط التخصيص لأنّه يدفع النموذج إلى حلول أبسط.
لماذا كلّ هذا على معالج رسومي
النقطة العملية التي تربط الرياضيات بالعتاد: ضرب المصفوفات عملية متوازية بطبيعتها. كلّ خليّة في النتيجة تُحسب مستقلّة عن الأخريات.
المعالج المركزي يملك عدداً قليلاً من النوى القويّة، والمعالج الرسومي يملك آلاف النوى الأبسط. وحين تكون العملية عشرة آلاف حساب مستقلّ، يفوز الثاني بفارق ضخم. هذا كلّ سرّ استخدام بطاقات الرسوميات في الذكاء الاصطناعي: الجبر الخطّي يتوازى بشكل مثالي.
في ثلاث جمل
المتّجه قائمة أرقام مرتّبة، وبمجرّد تمثيل الشيء كمتّجه يصبح قياس التشابه ممكناً، وهذا أساس البحث الدلالي والتوصية. والمصفوفة إمّا حاوية بيانات وإمّا تحويل، والطبقة في الشبكة هي الدور الثاني، وقاعدة تطابق الأبعاد هي مصدر معظم أخطاء التعلّم العميق. وضرب المصفوفات يتوازى بشكل مثالي، ولهذا صار المعالج الرسومي عتاد الذكاء الاصطناعي.
التالي — الدرس 3: الاشتقاق ←